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掷出π值来

张远南

公元1777年的一天,法国科学家D·布丰的家里宾客满堂,原来他们是应主人的邀请前来观看一次奇特试验的。

试验开始,但见年已古稀的布丰先生兴致勃勃地拿出一张纸来,纸上预先画好了一条条等距离的平行线。接着他又抓出一大把原先准备好的小针,这些小针的长度都是平行线间距离的一半。然后布丰先生宣布:“请诸位把这些小针一根一根往纸上扔吧!不过,请大家务必把扔下的针是否与纸上的平行线相交告诉我。”

客人们不知布丰先生要玩什么把戏,只好客随主便,一个个加入了试验的行列。一把小针扔完了,把它捡起来又扔。而布丰先生本人则不停地在一旁数着、记着,如此这般地忙碌了将近一个钟头。最后,布丰先生高声宣布:“先生们,我这里记录了诸位刚才的投针结果,共投针2212次,其中与平行线相交的有704次。总数2212与相交数704的比值为3.142。”说到这里,布丰先生故意停了停,并对大家报以神秘的一笑,接着有意提高声调说:“先生们,这就是圆周率π的近似值!”

众客哗然,一时疑议纷纷,大家全都感到莫名其妙:

“圆周率π?这可是与圆半点也不沾边的呀!”

布丰先生似乎猜透了大家的心思,得意洋洋地解释道:“诸位,这里用的是概率的原理,如果大家有耐心的话,再增加投针的次数,还能得到π的更精确的近似值。不过,要想弄清其间的道理,只好请大家去看敝人的新作了。”随即布丰先生扬了扬自己手上的一本《或然算术试验》的书。

π在这种纷纭杂乱的场合出现,实在是出乎人们的意料,然而它却是千真万确的事实。由于投针试验的问题,是布丰先生最先提出的,所以数学史上就称它为布丰问题。布丰得出的一般结果是:如果纸上两平行线间相距为d,小针长为l,投针的次数为n,所投的针当中与平行线相交的次数为m,那么当n相当大时有:

π≈2ln〖〗dm。谏厦婀适轮校针长l恰等于平行线间距离d的一半,所以代入上面公式简化得:π≈n〖〗m。

值得一提的是,后来有不少人步布丰先生的后尘,用同样的方法来计算π值。其中最为神奇的要算意大利数学家拉兹瑞尼。他在1901年宣称进行了多次的投针试验,每次投计数为3408次,平均相交数为2169.6次,代入布丰公式求得π≈3.1415929。这与π的精确值相比,一直到小数点后第七位才出现不同!用如此轻巧的办法,求到如此高精度的π值,这真是天工造物!倘若祖冲之再世,也会为之惊讶得瞠目结舌!

不过,对于拉兹瑞尼的结果,人们一向非议甚多。究其原因,也不能说都没有道理,因为在数学中可以证明,最接近π值的,分母较小的几个分数是:

①22〖〗7≈3.14(疏率);

②333〖〗106≈3.1415;

③355〖〗113≈3.1415929(密率);

④103993〖〗33102≈3.141592653;拉兹瑞尼居然投出了密率,对于万次之内的投掷,不可能有更好的结果了。难怪有不少人提出怀疑:“有这么巧吗?”但多数人鉴于拉兹瑞尼一生勤勉谨慎,认为他确实是“碰上了好运气”。事实究竟如何,现在也无从查考了!

我想,喜欢思考的读者,一定还想知道布丰先生投针试验的原理,其实这也没什么神秘,下面就是一个简单而巧妙的证明。

找一根铁丝弯成一个圆圈,使其直径恰恰等于平行线间的距离d。可以想象得到,对于这样的圆圈来说,不管怎么扔下,都将和平行线有两个交点。因此,如果圆圈扔下的次数为n次,那么相交的交点总数必为2n。

现在设想把圆圈拉直,变成一条长为πd的铁丝。显然,这样的铁丝扔下时与平行线相交的情形要比圆圈复杂些。可能有4个交点,3个交点,2个交点,1个交点,甚至于都不相交。

由于圆圈和直线的长度同为πd,根据机会均等的原理,当它们投掷次数较多,且相等时,两者与平行线组交点的总数可望也是一样的。这就是说,当长为πd的铁丝扔下n次时,与平行线相交的交点总数应大致为2n。

现在转而讨论铁丝长为l的情形。当投掷次数n增大的时候,这种铁丝跟平行线相交的交点总数m应当与长度l成正比,因而有:m=kl,式中k是比例系数。

为了求出k来,只需注意到,对于l=πd的特殊情形,有m=2n。于是求得k=2n〖〗πd。代入前式就有

m≈2ln〖〗πd。佣π≈2ln〖〗dm。

这,就是著名的布丰公式!

利用布丰公式,我们还可以设计出求2、3、5等数的近似值的投针试验呢!亲爱的读者,难道你不想试一试吗?这只需把l/d选得等于你那个数就行,不过这时的π要当成知道的。

看!多么奇妙的概率!

(选自《偶然中的必然》,1987年)

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