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扑克牌游戏中的数学问题

2002-7-25 20:51:58
  在上中学时,有人和我做过这样一个游戏:

    他当着我的面,把一幅扑克牌洗了几遍,然后问我:"一副扑克牌有多少张牌?"我回答:"54张。""对,一幅扑克有54张牌,54的一半是多少张?""27张。""好,我现在先从这54张牌中数出27张。"

    我看着他一张一张地数。第一张是个红桃3,第二张是个方块4,第三张是个梅花Q,再往下我就记不住了。反正他一共数出了27张,一张挨一张地摞成了一摞,然后扣过来放在了桌子上。

   他手里拿着剩下的27张牌,让我从中随便抽出三张。如果抽到大王或小王,他就让我重新抽一张。

   他把我随意抽出的三张牌并排摆在桌子上,从每一张牌的点数开始,在它下面放上他手中的牌,放一张加一点,一直数到十三点为止。于是他在我从他手中抽出的三张牌下面各放了一串牌。当时我随意抽到的三张牌分别是黑桃9、方块8和红桃J。在黑桃9下面放了4张牌、在方块8下面放了5张牌、在红桃J(算11点)下面放了两张牌,就都到13点了。然后,他把手中剩下的牌全都摞在了他先数出的那半副扑克上。

    这时,他让我把我抽出的那三张牌的点数加起来,问我总和是多少。我说"9+8+11=28。"他问我:"那么,桌子上这摞扑克牌中从上往下数的第28张是什么牌,你知道吗?"我说:"不知道。"说:"我知道,你信不信?不信咱们就数到第28张,看看我说的对不对。"

    于是我按住那摞牌,让他说第28张是什么牌。他说:"是大王。"我从上往下拿掉了27张牌,然后把下面的那张一翻,果然是大王!我和后来过来围观的同学们都很惊奇。

    后来又作了几次,每次都先数出27张摞成一摞扣在旁边,然后从剩下的27张中随意抽出三张,从每张的点数开始往下排,排到13点为止,再把剩下的牌也扣到先数出的那半副牌上。如果由于抽出的三张牌的点数太小,手中的牌不够用,他就从先数的那一摞上取,还是排到13点为止。

    由于每次抽出的三张牌的点数完全是偶然的,所以这三张牌的点数之和予先谁也不知道,可是他每次都能准确地说出那摞牌中从上往下数序号等于抽出的三张牌的点数之和的那张牌是什么。当然并不是每次都是大王做了好几遍都准确无误,有的同学说:"真神了!"

    后来我照着他的做法自己又做了几遍,边做边思考,终于发现了这个游戏的奥妙:

    设我从他手中随意抽出的三张牌的点数分别为x 、y 、z ,在点下面每放一张算增加一点,直放到13点为止,则放到13点时这一列共有

      puke1.gif

张牌,同理,另两列分别有几张牌。这三列总共有

      puke2.gif

    他从全副扑克中数出27张牌扣到旁边之后,手中还剩27张牌。手中的27张牌中又有puke3.gif 张被用来摆了三列,于是,摆完三列后手中还剩

      puke4.gif

张牌。也就是说,在摆完三列之后,他把剩下的

      puke5.gif

张牌摞到了开始数出的那27张牌上,这时他提出的问题是:最后得到的这一摞牌中从上往下数的第15张是什么牌?

   由于最后得到的这一摞中最上面的puke6.gif 张牌是摆完三列之后摞上去的,所以,最后得到的这一摞中从上往下数的第puke7.gif 张牌,就是原来扣在那里的27张牌中的第15张:

      puke8.gif

   扣在桌子上的27张牌是一张一张地数出之后摞整齐然后扣到桌子上的,所以,扣在那里从上往下数的第15张,也就是一开始数出的27张时的第15张。

   因而,只要在一开始数出那27张牌时,不动声色地默默地把第15张牌记在心里,然后按照前述步骤把游戏做下去,最后就能说出这个游戏的答案了。